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| Leopold Löwenheim: Leopold Löwenheim (1878-1957) war ein deutscher Mathematiker, der sich mit mathematischer Logik beschäftigte. Er ist vor allem für den Löwenheim-Skolem-Satz bekannt, der besagt, dass jede Theorie erster Ordnung mit einem unendlichen Modell auch ein abzählbares Modell hat. Siehe auch Modelle, Modelltheorie, Erfüllung, Erfüllbarkeit, Unendlichkeit, Abzählbarkeit, Reelle Zahlen, Zahlen, Wortbedeutung, Satzbedeutung, Referenz, Mehrdeutigkeit._____________Anmerkung: Die obigen Begriffscharakterisierungen verstehen sich weder als Definitionen noch als erschöpfende Problemdarstellungen. Sie sollen lediglich den Zugang zu den unten angefügten Quellen erleichtern. - Lexikon der Argumente. | |||
| Autor | Begriff | Zusammenfassung/Zitate | Quellen |
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W.V.O. Quine über Löwenheim, Satz v. – Lexikon der Argumente
X 79 Gültigkeit/Satz/Menge/Schema/Quine: wenn Mengen und Sätze derart auseinander fallen, sollte es einen Unterschied zwischen diesen beiden Definitionen der Gütligkeit (Über Schema (mit Sätzen) bzw. Modelle (mit Mengen) geben. Aber aus dem Satz von Löwenheim folgt, dass die beiden Definitionen der Gültigkeit (über Sätze, bzw. Mengen) nicht auseinanderfallen, solange die Objektsprache nicht allzu ausdrucksschwach (ausdrucksarm) ist. Bedingung: die Objektsprache muss die elementare Zahlentheorie ausdrücken können. (enthalten). OS: In einer solchen Sprache wird ein Schema, das bei allen Einsetzungen von Sätzen wahr bleibt, auch von allen Modellen erfüllt und umgekehrt. Die Forderung der elementaren Zahlentheorie ist ziemlich schwach. Def elementare Zahlentheorie/eZT/Quine: spricht über die positiven ganzen Zahlen mit Hilfe der Addition, Multiplikation, Identität, Wahrheitsfunktionen und Quantifikation. >Zahlentheorie/Quine. Standardgrammatik/Quine: Die Standardgrammatik würde die Funktoren der Addition, Multiplikation, wie die Identität, durch geeignete Prädikate ausdrücken. So erhalten wir die beiden Sätze: (I) Wenn ein Schema bei allen Einsetzungen von Sätzen der elementaren Zahlentheorie wahr bleibt, dann wird es von allen Modellen erfüllt. X 80 (II) Wenn ein Schema von jedem Modell erfüllt wird, dann ist e bei allen Einsetzungen von Sätzen wahr. Quine: Satz (I) geht auf Löwenheim 1915 zurück: Satz von Löwenheim/Quine: jedes Schema, das überhaupt von einem Modell erfüllt wird, wird von einem Modell ‹U,α,β,γ...› erfüllt, wo U nur die positiven ganzen Zahlen umfasst. Löwenheim/Hilbert/Bernays: Verschärfung: die Mengen α, β,γ,...usw. können je durch einen Satz der eZT bestimmt sein: Also: (A) Wird ein Schema überhaupt von einem Modell erfüllt, so ist es wahr bei einer Einsetzung von Sätzen der eZT anstelle seiner einfachen Schemata. Voraussetzung für die Einsetzungen: die quantifizierbaren Variablen müssen in ihrem Wertebereich die positiven ganzen Zahlen haben. Sie dürfen aber auch noch andere Werte haben. (I) folgt aus (A) wie folgt: (A) ist mit seiner Kontraposition äquivalent: ist ein Schema bei allen Einsetzung von Sätzen der elementaren ZT falsch, so wird es von keinem Modell erfüllt. Wenn wir hier anstelle des Schemas über seine Negation sprechen, dann wird aus „falsch2 „wahr“ und „von keinem Modell“ zu „von jedem Modell“. Damit haben wir (I). Dem Satz (II) liegt der Satz von der deduktiven Vollständigkeit der Quantorenlogik zugrunde. - - - II 29 Klassen: man könnte alle Klassen in ihr Komplement umdeuten: "kein Element von.. " - Man würde nie etwas merken! - Unterste Schicht: jeder Relativsatz, jeder allgemeine Term bestimmt eine Klasse. >Klassen/Quine. - - - V 160 Löwenheim/Quine: keine Neudeutung von Zeichen - wohl aber Veränderung von Termini und der Bereiche - konstant bleiben die Bedeutungen der Zeichen für Wahrheitsfunktionen und für die Quantoren. - Der Unterschied ist nicht so groß und lässt sich allein mit Hilfe eines neuen Terminus wiedergeben: Bsp "ε" oder "abzählbar". - Für Quantoren und Wahrheitsfunktionen spielt nur der Unterschied endlich/unendlich eine Rolle. - Überabzählbarkeit ist nicht Auffassungssache. - Lösung: es geht nur darum, welcher Begriff grundlegend ist: abzählbar oder überabzählbar._____________ Zeichenerklärung: Römische Ziffern geben die Quelle an, arabische Ziffern die Seitenzahl. Die entsprechenden Titel sind rechts unter Metadaten angegeben. ((s)…): Kommentar des Einsenders. Übersetzungen: Lexikon der ArgumenteDer Hinweis [Begriff/Autor], [Autor1]Vs[Autor2] bzw. [Autor]Vs[Begriff] bzw. "Problem:"/"Lösung", "alt:"/"neu:" und "These:" ist eine Hinzufügung des Lexikons der Argumente. |
Quine I W.V.O. Quine Wort und Gegenstand Stuttgart 1980 Quine II W.V.O. Quine Theorien und Dinge Frankfurt 1985 Quine III W.V.O. Quine Grundzüge der Logik Frankfurt 1978 Quine V W.V.O. Quine Die Wurzeln der Referenz Frankfurt 1989 Quine VI W.V.O. Quine Unterwegs zur Wahrheit Paderborn 1995 Quine VII W.V.O. Quine From a logical point of view Cambridge, Mass. 1953 Quine VII (a) W. V. A. Quine On what there is In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (b) W. V. A. Quine Two dogmas of empiricism In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (c) W. V. A. Quine The problem of meaning in linguistics In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (d) W. V. A. Quine Identity, ostension and hypostasis In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (e) W. V. A. Quine New foundations for mathematical logic In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (f) W. V. A. Quine Logic and the reification of universals In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (g) W. V. A. Quine Notes on the theory of reference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (h) W. V. A. Quine Reference and modality In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VII (i) W. V. A. Quine Meaning and existential inference In From a Logical Point of View, Cambridge, MA 1953 Quine VIII W.V.O. Quine Bezeichnung und Referenz In Zur Philosophie der idealen Sprache, J. Sinnreich (Hg) München 1982 Quine IX W.V.O. Quine Mengenlehre und ihre Logik Wiesbaden 1967 Quine X W.V.O. Quine Philosophie der Logik Bamberg 2005 Quine XII W.V.O. Quine Ontologische Relativität Frankfurt 2003 Quine XIII Willard Van Orman Quine Quiddities Cambridge/London 1987 |
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